Question

已知数列A_n：a₁，a₂，a₃，…a_n（n∈N^*，n≥2）满足a₁=a_n=0，且当2≤k≤n（k∈N^*）时，（a_k-a_k-1）²=1，令S(A n)=

n

i=1

ai．
（Ⅰ）写出的所有S（A₅）可能值；
（Ⅱ）求S（A_n）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）由题意分6种情况考虑即可；
（Ⅱ）由（a_k-a_k-1）²=1可构造新数列c₁，c₂，…，c_n-2，c_n-1，则它们各自的绝对值为1，和为0，则前

n-1

2

项取1，后

n-1

2

项取-1时，S（A_n）最大；前

n-1

2

项取-1，后

n-1

2

项取1时，S（A_n）最小．

解答： 解：（Ⅰ）由题意满足条件的数列A₅的所有可能情况有：
①0，1，2，1，0．此时S（A₅）=4；
②0，1，0，1，0．此时S（A₅）=2；
③0，1，0，-1，0．此时S（A₅）=0；
④0，-1，-2，-1，0．此时S（A₅）=-4；
⑤0，-1，0，1，0．此时S（A₅）=0；
⑥0，-1，0，-1，0．此时S（A₅）=-2，
所以S（A₅）的所有可能的值为：4，2，0，-2，-4．
（Ⅱ）由(ak-ak-1)2=1，可设a_k-a_k-1=c_k-1，
则c_k-1=1或c_k-1=-1（2≤k≤n（k∈N^*），
因为a_n-a_n-1=c_n-1，
所以a_n=a_n-1+c_n-1=a_n-2+c_n-2+c_n-1=…=a₁+c₁+c₂+…+c_n-2+c_n-1
因为a_n=a₁=0，所以c₁+c₂+…+c_n-2+c_n-1=0，
所以n为奇数，c₁，c₂，…，c_n-2，c_n-1是由

n-1

2

个1，和

n-1

2

个-1构成的数列．
所以S（A_n）=c₁+（c₁+c₂）+…+（c₁+c₂+…+c_n-1）=（n-1）c₁+（n-2）c₂+…+2c_n-2+c_n-1
则当c₁，c₂，…，c_n-2，c_n-1的前

n-1

2

项取1，后

n-1

2

项取-1时，S（A_n）最大，
此时S(A n)max=(n-1)+(n-2)+…+

n+1

2

-(

n-1

2

+…+2+1)=

(n-1)2

4

．
同理知，当c₁，c₂，…，c_n-2，c_n-1的前

n-1

2

项取-1，后

n-1

2

项取1时，
S（A_n）最小，此时S(A n)min=-

(n-1)2

4

．

点评：本题考查数列的知识，看清题意，找出其内在规律是解决本题的关键．