Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，斜率为1的直线过双曲线C的左焦点且与该曲线交于A，B两点，若

OA

+

OB

与向量

n

=（-3，-1）共线，则双曲线C的离心率为（　　）

• A、

  3

• B、

  2 3

  3

• C、

  4

  3

• D、3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出双曲线的左焦点和直线AB的方程，联立双曲线方程，运用韦达定理和向量的坐标运算即可得到a²=3b²，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到．

解答： 解：双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左焦点为（-c，0），
斜率为1的直线方程设为y=x+c，
代入双曲线的方程得（b²-a²）x²-2a²cx-a²c²-a²b²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

2a2c

b2-a2

，y₁+y₂=x₁+x₂+2c=

2a2c

b2-a2

+2c=

2b2c

b2-a2

，
若

OA

+

OB

与向量

n

=（-3，-1）共线，则有y₁+y₂=

1

3

（x₁+x₂），
即有a²=3b²，即c²=a²+b²=

4

3

a²，
即e=

c

a

=

2 3

3

．
故选B．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查向量的坐标运算，由直线方程和双曲线方程联立，运用韦达定理是解题的关键．