Question

已知奇函数f（x）在R上单调递增，若f（sin²θ）+f（2mcosθ+m）＞0对任意θ∈[-

π

3

，

π

3

]恒成立，则实数m的范围为（　　）

• A、-

  3

  8

  ＜m＜0
• B、m＞-

  3

  8

• C、m＞0
• D、m＞1

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用,三角函数的图像与性质

分析：运用奇函数和增函数的定义可得f（sin²θ）+f（2mcosθ+m）＞0即为2mcosθ+m＞-sin²θ，令t=cosθ，（

1

2

≤t≤1），即有m＞

t2-1

2t+1

，运用导数求得右边的单调性，进而得到最大值，即可得到m的范围．

解答： 解：由于奇函数f（x）在R上单调递增，
即有f（-x）=-f（x），
f（sin²θ）+f（2mcosθ+m）＞0即为
f（2mcosθ+m）＞-f（sin²θ）=f（-sin²θ），
即有2mcosθ+m＞-sin²θ对任意θ∈[-

π

3

，

π

3

]恒成立．
令t=cosθ，（

1

2

≤t≤1），
即有m＞

t2-1

2t+1

，
由于（

t2-1

2t+1

）′=

2t(2t+1)-2(t2-1)

(2t+1)2

=

2(t2+t+1)

(2t+1)2

＞0恒成立，
即有

t2-1

2t+1

在

1

2

≤t≤1上递增，
t=1时，取得最大值为0，
则有m＞0，
故选C．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，主要考查不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，同时考查运用导数判断单调性求最值，运用换元和三角函数的单调性是解题的关键．