Question

在平面直角坐标系xoy中，已知点A（0，1），B点在直线y=-1上，M点满足

MB

∥

OA

，

MA

•

AB

=

MB

•

BA

，设M（x，y）
（1）求x，y满足的关系式y=f（x）；
（2）斜率为1的直线l过原点O，y=f（x）的图象为曲线C，求l被曲线C截得的弦长．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,平面向量数量积的运算

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由已知可得：B（x，-1），A（0，1），

MA

=(-x，1-y)，

MB

=（0，-1-y），

AB

=（x，-2），利用

MA

•

AB

=

MB

•

BA

，即可得出．
（2）设直线与曲线C相交于点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）．直线l的方程为y=x．与曲线C的方程联立即可得出．

解答： 解：（1）由已知可得：B（x，-1），A（0，1），

MA

=(-x，1-y)，

MB

=（0，-1-y），

AB

=（x，-2），
∵

MA

•

AB

=

MB

•

BA

，∴(

MA

+

MB

)•

AB

=0，
∴（-x，-2y）•（x，-2）=0，化为-x²+4y=0，
∴y=

1

4

x2．
（2）设直线与曲线C相交于点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）．
直线l的方程为y=x．
联立

y=x y= 1 4 x2

，
解得

x=0 y=0

或

x=4 y=4

．
∴|EF|=4

2

．

点评：本题考查了直线与圆相交弦长问题、向量的坐标运算与数量积运算，考查了计算能力，属于基础题．