Question

设函数f（x）=

x3

3

sinθ+

3

2

x²cosθ+

1

3

cosθ，其中θ∈[0，

π

6

]，则导数f′（1）的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：导数的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：先对函数f（x）=

x3

3

sinθ+

3

2

x²cosθ+

1

3

cosθ，进行求导，然后将x=1代入，再由两角和与差的公式进行化简，根据θ的范围和正弦函数的性质可求得最后答案．

解答： 解：∵f（x）=

x3

3

sinθ+

3

2

x²cosθ+

1

3

cosθ，
∴f'（x）=sinθx²+

3

cosθx
∴f′（1）=sinθ+

3

cosθ=2sin（θ+

π

3

）
∵θ∈[0，

π

6

]，∴θ+

π

3

∈[

π

3

，

π

2

]
∴sin（θ+

π

3

）∈[

3

2

，1]
∴f′（1）∈[

3

，2]
故答案为：[

3

，2]．

点评：本题主要考查函数的求导运算和两角和与差的正弦公式的应用．考查基础知识的简单综合．高考对三角函数的考查以基础题为主，平时要注意基础知识的积累和基础题的练习．