Question

记

n

i=1

a_i=a₁+a₂+a₃+…+a_n，则函数f（x）=

21

n=1

|x-n|的最小值为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：由绝对值的不等式结合等差数列的前n项和得到函数f（x）=

n

i=1

|x-n|的最小值=

1

4

(n2-1)，取n=21得答案．

解答： 解：由|x-1|+|x-n|≥丨n-x+x-1丨=n-1，
同理：
|x-2|+|x-（n-1）|≥n-3，
|x-3|+|x-（n-2）|≥n-5，
…
|x-

1

2

（n-1）|+|x-

1

2

（n+3）|≥2，
当x=

1

2

（n+1）（即1，n的中点）有|x-

1

2

（n+1）|取最小值0．
故函数f（x）=

n

i=1

|x-n|的最小值=0+2+4+…+（n-3）+（n-1）=

1

4

(n2-1)，
此时x=

1

2

（n+1）．
∴当x=

1

2

(21+1)=11时，函数f（x）=

21

n=1

|x-n|的最小值为

1

4

×(212-1)=110．
故答案为：110．

点评：本题考查了数列的函数特性，考查了等差数列的前n项和，训练了绝对值不等式的用法，是中档题．