Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥ABCD，ABCD为正方形．AD=PD=2，E，F，GPC，PD，CB，AP∥EGF，求二面角G-EF-D的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：首先建立空间直角坐标系，进一步求出平面EFG的法向量，再利用

DA

是平面PCD的法向量，利用向量的数量积求出二面角的大小．

解答： 解：建立空间直角坐标系D-xyz，
则P（0，0，2），C（0，2，0），G（1，2，0），E（0，1，1），F（0，0，1），A（2，0，0）．
∴

AP

=(-2，0，2)，

EF

=(0，-1，0)，

EG

=(1，1，-1)
设平面EFG的法向量为：

n

=(x，y，z)
所以：

n • EF =0 n • EG =0

解得：

n

=(1，0，1)
∵底面ABCD是正方形
∴AD⊥CD
∵PD⊥ABCD
∴AD⊥PD
∴AD⊥平面PCD
∴

DA

是平面PCD的法向量，

DA

=(2，0，0)
所以：cos＜

.

DA

，

n

＞=

DA • n

| DA |•| n |

=

2

2

所以：二面角G-EF-D的大小为45°

点评：本题考查的知识要点：空间直角坐标系的建立，法向量，向量的数量积，二面角的求法及相关的运算．