Question

 

如图，平面⊥平面，四边形与都是直角梯形，

∠∠，  ，  .

（1）求证：、、、四点共面；

（2）设，求证：平面⊥平面；

（3）设，求二面角的余弦值.

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 由平面⊥平面，⊥，得⊥平面，以A为坐标原点，射线AB为x轴正半轴，建立如图的直角坐标系A-xyz， ……………1分

（1）设，，，

     则，，，

       ，， …………3分

     ∴ ，，

故，

∵ ，

∴ ∥，

∴ C、D、E、F共面.      ………………5分

（2）∵ ，由（1）可知，

∴ ，，

设为平面的法向量，则

  ，      ∴ ，             ………………7分

设为平面的法向量，则，，

 ，     ∴ ，              ………………9分

∵  ，  ∴ ，

∴平面⊥平面.                           ………………10分

（3）当时，由（2）可知平面的法向量为，

     设平面的法向量为，

     由，得

     ，       ∴ ，

     ∴ ，

     ∴ 二面角的余弦值为.               ………………16分