Question

9．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁ C₁中，AC=2$\sqrt{2}$，AB=BC=BB₁=2，N是BB₁的中点．
（I）求证：BC₁⊥平面A₁B₁C；
（Ⅱ）求三棱锥C-A₁B₁N的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出BB₁⊥A₁B₁，A₁B₁⊥B₁C₁，从而A₁B₁⊥平面BB₁C₁，进而BC₁⊥A₁B₁，再求出BC₁⊥B₁C，由此能证明BC₁⊥平面A₁B₁C．
（Ⅱ）C到平面A₁B₁N的距离BC=2，由此能求出三棱锥C-A₁B₁N的体积．

解答 证明：（Ⅰ）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁ C₁中，BB⊥底面A₁B₁C₁，A₁B₁?底面A₁B₁C₁，
∴BB₁⊥A₁B₁，
∵AC=2$\sqrt{2}$，AB=BC=BB₁=2，
∴AB²+BC²=AC²，∴AB⊥BC，∴A₁B₁⊥B₁C₁，
∵BB₁∩B₁C₁=B₁，∴A₁B₁⊥平面BB₁C₁，
∵BC₁?平面BB₁C₁，∴BC₁⊥A₁B₁，
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁ C₁中，AC=2$\sqrt{2}$，AB=BC=BB₁=2，
∴四边形BB₁C₁C是正方形，∴BC₁⊥B₁C，
∵A₁B₁∩B₁C=B₁，∴BC₁⊥平面A₁B₁C．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知AB⊥BC，BB₁⊥BC，
∵AB∩BB₁=B，∴BC⊥平面A₁B₁N，
∴C到平面A₁B₁N的距离BC=2，
${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}N}$=$\frac{1}{2}×{A}_{1}{B}_{1}×N{B}_{1}$=$\frac{1}{2}×2×1$=1，
∴三棱锥C-A₁B₁N的体积：
V=$\frac{1}{3}×{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}N}×BC$=$\frac{1}{3}×1×2=\frac{2}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．