Question

19．如图，在三棱锥A-BCD中，△ABD为边长等于$\sqrt{2}$正三角形，CD=CB=1．△ADC与△ABC是有公共斜边AC的全等的直角三角形．
（Ⅰ）求证：AC⊥BD；
（Ⅱ）求D点到平面ABC的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BD中点M，连AM、CM，证明BD⊥面ACM，即可证明AC⊥BD；
（Ⅱ）证明面ABCE⊥面DEC，过D作DF⊥EC，交EC于F，DF即为D点到平面ABC的距离．

解答 （Ⅰ）证明：取BD中点M，连AM、CM
∵AD=AB
∴AM⊥BD，
又∵DC=CB，
∴CM⊥BD，CM∩AM=M，
∴BD⊥面ACM，AC?面ACM，
∴BD⊥AC                         …（6分）
（Ⅱ）过A作AE∥BC，AE=BC，连接EC、ED，
则AB∥EC，AB=EC
∵BC⊥AB，
∴BC⊥EC，
又∵BC⊥DC，EC∩DC=C，
∴BC⊥面DEC
∵BC?面ABCE，
∴面ABCE⊥面DEC
过D作DF⊥EC，交EC于F，DF即为所求，
在△DEC中，DE=DC=1，EC=$\sqrt{2}$，
∴DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$                                                            …（12分）

点评 本题考查线面垂直，面面垂直的证明，考查点到平面距离的计算，属于中档题．