【题目】在平面直角坐标系中,设点
(1,0),直线
:
,点
在直线
上移动,
是线段
与
轴的交点, 异于点R的点Q满足:
,
.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2) 记的轨迹的方程为
,过点
作两条互相垂直的曲线
的弦.
,设
.
的中点分别为
.
问直线是否经过某个定点?如果是,求出该定点,
如果不是,说明理由.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)以直线
恒过定点
.
【解析】试题分析: (1)由已知条件知,点R是线段FP的中点,RQ是线段FP的垂直平分线,点Q的轨迹E是以F为焦点,l为准线的抛物线,写出抛物线标准方程.
(2)设出直线AB的方程,把A、B坐标代入抛物线方程,再利用中点公式求出点M的坐标,同理可得N的坐标,求出直线MN的斜率,得到直线MN的方程并化简,可看出直线MN过定点.
试题解析:(Ⅰ)依题意知,直线的方程为:
.点
是线段
的中点,
且⊥
,∴
是线段
的垂直平分线.
∴是点
到直线
的距离.
∵点在线段
的垂直平分线,∴
.
故动点的轨迹
是以
为焦点,
为准线的抛物线,
其方程为: .
(Ⅱ) 设,
,
由AB⊥CD,且AB、CD与抛物线均有两个不同的交点,故直线AB、CD斜率均存在,设直线AB的方程为
则
(1)—(2)得,即
,
代入方程,解得
.所以点M的坐标为
.
同理可得: 的坐标为
.
直线的斜率为
,方程为
,整理得
,
显然,不论为何值,
均满足方程,所以直线
恒过定点
.
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【题目】选修4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(其中
为参数).以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度,曲线
的极坐标方程为
.
(1)把曲线的方程化为普通方程,
的方程化为直角坐标方程;
(2)若曲线,
相交于
两点,
的中点为
,过点
做曲线
的垂线交曲线
于
两点,求
.
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【题目】如图,一块弓形余布料EMF,点M为弧的中点,其所在圆O的半径为4 dm(圆心O在弓形EMF内),∠EOF=
.将弓形余布料裁剪成尽可能大的矩形ABCD(不计损耗), AD∥EF,且点A、D在弧
上,设∠AOD=
.
(1)求矩形ABCD的面积S关于的函数关系式;
(2)当矩形ABCD的面积最大时,求cos的值.
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【题目】△ABC为等腰直角三角形,AC=BC=4,∠ACB=90°,D、E分别是边AC和AB的中点,现将△ADE沿DE折起,使面ADE⊥面DEBC,H、F分别是边AD和BE的中点,平面BCH与AE、AF分别交于I、G两点
(Ⅰ)求证:IH∥BC;
(Ⅱ)求直线AE与平面角GIC所成角的正弦值.
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【题目】如图,在半径为2,圆心角为 的扇形金属材料中剪出一个四边形MNQP,其中M、N两点分別在半径OA、OB上,P、Q两点在弧
上,且OM=ON,MN∥PQ.
(1)若M、N分別是OA、OB中点,求四边形MNQP面积的最大值.
(2)PQ=2,求四边形MNQP面积的最大值.
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【题目】某班有24名男生和26名女生,数据a1 , a2 , …,a50是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试的成绩,下面的程序用来同时统计全班成绩的平均数:A,男生平均分:M,女生平均分:W;为了便于区别性别,输入时,男生的成绩用正数,女生的成绩用其成绩的相反数,那么在图里空白的判断框和处理框中,应分别填入下列四个选项中的( )
A.T>0?,
B.T<0?, ??
C.T<0?,
D.T>0?,
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