Question

【题目】在平面直角坐标系中，设点 (1，0)，直线: ，点在直线上移动， 是线段与轴的交点, 异于点R的点Q满足： ， .

（1）求动点的轨迹的方程；

（2） 记的轨迹的方程为，过点作两条互相垂直的曲线

的弦. ，设. 的中点分别为．

问直线是否经过某个定点？如果是，求出该定点，

如果不是，说明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)以直线恒过定点 ．

【解析】试题分析: （1）由已知条件知，点R是线段FP的中点，RQ是线段FP的垂直平分线，点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，写出抛物线标准方程．
（2）设出直线AB的方程，把A、B坐标代入抛物线方程，再利用中点公式求出点M的坐标，同理可得N的坐标，求出直线MN的斜率，得到直线MN的方程并化简，可看出直线MN过定点．

试题解析：(Ⅰ)依题意知，直线的方程为： ．点是线段的中点，

且⊥，∴是线段的垂直平分线．

∴是点到直线的距离．

∵点在线段的垂直平分线，∴．

故动点的轨迹是以为焦点， 为准线的抛物线，

其方程为： ．

(Ⅱ) 设， ，

由AB⊥CD，且AB、CD与抛物线均有两个不同的交点，故直线AB、CD斜率均存在，设直线AB的方程为

则

（1）—（2）得，即，

代入方程，解得．所以点Ｍ的坐标为．

同理可得： 的坐标为．

直线的斜率为，方程为

，整理得，

显然，不论为何值， 均满足方程，所以直线恒过定点 ．