Question

20．已知数列{a_n}满足a₁＞2，a_n+1-1=a_n（a_n-1）（n∈N^*），且$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2012}}$=1，则a₂₀₁₃-4a₁的最大值为-12．

Answer 1

分析 通过对a_n+1-1=a_n（a_n-1）两边同时取倒数可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$，累加可知1=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2012}}$=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2013}-1}$，化简得：a₂₀₁₃=-$\frac{1}{{a}_{1}-2}$，利用基本不等式计算即得结论．

解答 解：依题意，由a_n+1-1=a_n（a_n-1）可知$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}-1）}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
整理得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$，
∴1=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2012}}$
=（$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2}-1}$）+（$\frac{1}{{a}_{2}-1}$-$\frac{1}{{a}_{3}-1}$）+…+（$\frac{1}{{a}_{2012}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2013}-1}$）
=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2013}-1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{2013}-1}$=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-1=$\frac{2-{a}_{1}}{{a}_{1}-1}$，
化简得：a₂₀₁₃=$\frac{1}{2-{a}_{1}}$=-$\frac{1}{{a}_{1}-2}$，
∴a₂₀₁₃-4a₁=-$\frac{1}{{a}_{1}-2}$-4a₁
=-$\frac{1}{{a}_{1}-2}$-4（a₁-2）-8
=-[$\frac{1}{{a}_{1}-2}$+4（a₁-2）]-8
≤-2$\sqrt{\frac{1}{{a}_{1}-2}•4（{a}_{1}-2）}$-8（当且仅当$\frac{1}{{a}_{1}-2}$=4（a₁-2）即a₁=$\frac{5}{2}$时取等号）
=-12，
故答案为：-12．

点评 本题考查数列的通项及基本不等式，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．