Question

在平面直角坐标系xOy中，设A（-1，1），B，C是函数图象上的两点，且△ABC为正三角形，则△ABC的高为    ．

Answer 1

【答案】分析：设B、C为直线y=kx+b（k＜0，b＞0）与y=的交点，联立方程组⇒kx²+bx-1=0．设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），利用韦达定理，结合△ABC为正三角形，可求得k及|AD|，从而可得答案．
解答：解：设B、C为直线y=kx+b（k＜0，b＞0）与y=的交点，
由得kx²+bx-1=0．设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则x₁+x₂=-，y₁+y₂=+==b，
设BC的中点为D，则D（-，）．因为A（-1，1），
依题意，k_AD•k_BC=-1，即•k=-1，由于k＜0，故1-k≠0，
∴b=（b＞0）．
∵|BC|=|x₁-x₂|=•=•=•
∴d_A-BC=|BC|，即=×|BC|=×2•，
即=ו，解得：k=．
∵b=＞0，
∴k=，k²=，
∴d_A-BC======2．
故△ABC的高为2．
故答案为：2．
点评：本题考查韦达定理与点到直线的距离公式，考查方程思想与等价转化思想的综合运用，属于难题．