Question

已知函数f（x）=x²-2x+2，若x∈[a，a+1]时的最小值为g（a），
（1）试求函数g（a）的解析式．
（2）解不等式g（a）＜5．

Answer 1

分析：（1）先求出其对称轴，再分区间在对称轴左边，右边以及包含对称轴三种情况分别讨论即可求出结论；
（2）根据上一问的结果，画出函数g（a）的图象以及直线方程Y=5，由图象即可得到答案．

解答：解：（1）由题得：函数f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1；
其对称轴为x=1，开口向上；
所以：a≥1时，函数在[a，a+1]上递增，最小值g（a）=f（a）=a²-2a+2
a+1≤1即a≤0时，函数在[a，a+1]上递减，最小值g（a）=f（a+1）=a²+1
0＜a＜1时，g（a）=f（1）=1
综上得：g(a)=

a2-2a+2，a≥1 1，0＜a＜1 a2+1，a≤0

．
（2）∵g(a)=

a2-2a+2，a≥1 1，0＜a＜1 a2+1，a≤0

；
a≥1时，a²-2a+2=5⇒a=3（a=-1舍）；
a≤0时，a²+1=5⇒a=-2（a=2舍）
其对应图象：
由图得：g（a）＜5的解集为（-2，3）

点评：二次函数y=ax²+bx+c，在定区间[m，n]上，[1]当m≥-

b

2a

时，对称轴在区间左侧，f （x）在[m，n]上递增，则f （x）的最大值为f （n），最小值为f （m）；[2]当n≤-

b

2a

时，对称轴在区间右侧，f （x） 在[m，n]上递减，，则f （x）的最大值为f （m），最小值为f（n）；[3]当-

b

2a

∈（m，n）时，则f（x）的最小值为f （-

b

2a

）；在[m，-

b

2a

]上函数f （x）递减，则f （x）的最大值为f （m），在[-

b

2a

，n]上函数f （x）递增，则f （x）的最大值为f （n），比较f （m）与f （n）的大小即得．