Question

17．已知f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）在x=±1时取得极值，且f（1）=-1．
（I）试求常数a、b、c的值；
（II）试求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为f′（x）=0的根建立起由极值点x=±1所确定的相关等式，运用待定系数法确定a、b、c的值．
（Ⅱ）求出f′（x）并分解因式讨论x的取值决定f′（x）的正负研究函数的增减性即可．

解答 解：（Ⅰ）由f′（1）=f′（-1）=0，
得3a+2b+c=0，①，3a-2b+c=0，②，
又f（1）=-1，∴a+b+c=-1．③
由①②③解得a=$\frac{1}{2}$，b=0，c=-$\frac{3}{2}$．
（Ⅱ）f（x）=$\frac{1}{2}$x³-$\frac{3}{2}$x，
∴f′（x）=$\frac{3}{2}$x²-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$（x-1）（x+1），
当x＜-1或x＞1时，f′（x）＞0；
当-1＜x＜1时，f′（x）＜0；
故f（x）在（-∞，-1）递增，在（-1，1）递减，在（1，+∞）递增．

点评 考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及用待定系数法求函数解析式的能力．