Question

16．已知a，b，c＞0，求证$\frac{{{a^2}{b^2}+{b^2}{c^2}+{a^2}{c^2}}}{a+b+c}≥abc$．

Answer 1

分析 根据a²+b²≥2ab，两边再乘c²得出c²（a²+b²）≥2c²ab，同理得出其他两式，将不等式相加化简即可得出结论．

解答 证明：因为b²+c²≥2bc，a²＞0，
∴a²（b²+c²）≥2a²bc，
同理：b²（a²+c²）≥2b²ac，
c²（a²+b²）≥2c²ab，
以上三式相加得：2（a²b²+a²c²+b²c²）≥2a²bc+2b²ac+2c²ab，
∴a²b²+a²c²+b²c²≥abc（a+b+c），
∵a+b+c＞0，∴$\frac{{{a^2}{b^2}+{b^2}{c^2}+{a^2}{c^2}}}{a+b+c}≥abc$．

点评 本题考查了不等式的证明，属于中档题．