Question

6．已知圆C的方程为x²+y²-2x+4y-3=0，直线l：x-y+t=0．
（1）若直线l与圆C相切，求实数t的值；
（2）若直线l与圆C相交于M，N两点，且|MN|=4，求实数t的值．

Answer 1

分析 （1）把圆C的方程x²+y²-2x+4y-3=0化为标准方程为（x-1）²+（y+2）²=8，得到圆心为C（1，-2）和半径，由圆心C到直线l的距离等于圆的半径列出方程，求解即可得实数t的值；
（2）由（1）知，圆心到直线l的距离$d=\frac{|3+t|}{\sqrt{2}}$，且|MN|=4，r²=8，解得d，进一步求出实数t的值．

解答 解：圆C的方程x²+y²-2x+4y-3=0化为标准方程为（x-1）²+（y+2）²=8，
故圆心为C（1，-2），且半径$r=2\sqrt{2}$，
（1）∵直线l与圆C相切，∴圆心C到直线l的距离等于圆的半径，
即$\frac{|1-（-2）+t|}{\sqrt{1+（-1）^{2}}}=2\sqrt{2}$，整理得|3+t|=4，解得t=1或t=-7；
（2）由（1）知，圆心到直线l的距离$d=\frac{|3+t|}{\sqrt{2}}$，
又|MN|=$2\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}=4$，r²=8，解得d=2，∴$\frac{|3+t|}{\sqrt{2}}=2$即$t=-3±2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是中档题．