Question

15．在正方体ABCD-A′B′C′D′中，棱AB，BB′，B′C′，C′D′的中点分别是E，F，G，H，如图所示．
（1）求证：AD′∥平面EFG；
（2）求证：A′C⊥平面EFG．

Answer 1

分析 （1）可通过证明四边形ABC′D′是平行四边形，AD′∥BC′得出AD′∥平面EFG；
（2）由A′B′⊥平面BC′可得A′B′⊥BC′，结合BC′⊥B′C得出BC′⊥平面A′B′C，故而A′C⊥BC′，于是A′C⊥FG，同理证出A′C⊥EF，于是A′C⊥平面EFG．

解答 （1）证明　连接BC′．
在正方体ABCD-A′B′C′D′中，AB=C′D′，AB∥C′D′，
所以四边形ABC′D′是平行四边形，
所以AD′∥BC′．
因为F，G分别是BB′，B′C′的中点，
所以FG∥BC′，所以FG∥AD′．
因为EF，AD′是异面直线，所以AD′?平面EFG．
因为FG?平面EFG，所以AD′∥平面EFG．
（2）证明：连接B′C．
在正方体ABCD-A′B′C′D′中，A′B′⊥平面BCC′B′，
BC′?平面BCC′B′，
所以A′B′⊥BC′．
在正方形BCC′B中，B′C⊥BC′，
因为A′B′?平面A′B′C，B′C?平面A′B′C，
A′B′∩B′C=B′，
所以BC′⊥平面A′B′C．
因为A′C?平面A′B′C，所以BC′⊥A′C．
因为FG∥BC′，所以A′C⊥FG，同理可证A′C⊥EF．
因为EF?平面EFG，FG?平面EFG，EF∩FG=F，
所以A′C⊥平面EFG．

点评 本题考查了线面平行与线面垂直的判定，属于中档题．