Question

10．已知数列{a_n}满足$\root{3}{a_n}≤{a_{n+1}}≤a_n^3，n∈{N_+}$，${a_1}=\frac{3}{2}$．
（Ⅰ）若a₂=2，a₃=x，a₄=27，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）设数列{a_n}满足：${a_{n+1}}=a_n^p$，n∈N₊．设T_n=a₁•a₂•…•a_n，若$\root{3}{T_n}≤{T_{n+1}}≤T_n^3$，n∈N₊，求p的取值范围；
（Ⅲ）若a₁，a₂，…，a_k成公比q的等比数列，且${a_1}•{a_2}•…•{a_k}={（\frac{3}{2}）^{1000}}$，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a₁，a₂，…，a_k的公比q．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过代入联立$\root{3}{2}≤x≤8$、$\root{3}{x}≤27≤{x^3}$可得结论；
（Ⅱ）通过换元令b_n=lga_n、设S_n=lgb₁+…+lgb_n，则问题转化为：若$\frac{1}{3}{S_n}≤{S_{n+1}}≤3{S_n}$，求p的范围．利用$\frac{1}{3}{b_1}≤{b_2}≤3{b_1}$可知$\frac{1}{3}≤p≤3$．进而分p=1、1＜p≤3、$\frac{1}{3}≤p＜1$三种情况讨论即可；
（Ⅲ）通过令${c_n}={log_{\frac{3}{2}}}{a_n}$，可知{c_n}是首项为1、公差为$d={log_{\frac{3}{2}}}q$的等差数列，进而取特殊值确定k_max≥1000，转化为不等式问题计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）依题意，$\root{3}{a_2}≤{a_3}≤a_2^3$，
因为a₂=2，a₃=x，所以$\root{3}{2}≤x≤8$，
又因为a₄=27，$\root{3}{a_3}≤{a_4}≤a_3^3$，所以$\root{3}{x}≤27≤{x^3}$，
综上可得3≤x≤8；
（Ⅱ）令b_n=lga_n，则b_n是公比为p的等比数列，$\frac{1}{3}{b_n}≤{b_{n+1}}≤3{b_n}$，
设S_n=lgb₁+…+lgb_n，则问题转化为：若$\frac{1}{3}{S_n}≤{S_{n+1}}≤3{S_n}$，求p的范围．
由已知得${b_n}={b_1}{q^{n-1}}$=q^n-1•$lg\frac{3}{2}$，又$\frac{1}{3}{b_1}≤{b_2}≤3{b_1}$，所以$\frac{1}{3}≤p≤3$．
（1）当p=1时，S_n=n，$\frac{1}{3}{S_n}≤{S_{n+1}}≤3{S_n}$，即$\frac{n}{3}≤n+1≤3n$，成立；
（2）当1＜p≤3时，${S_n}={b_1}\frac{{{p^n}-1}}{p-1}$，$\frac{1}{3}{S_n}≤{S_{n+1}}≤3{S_n}$，即$\frac{1}{3}\frac{{{p^n}-1}}{p-1}≤\frac{{{p^{n+1}}-1}}{p-1}≤3\frac{{{p^n}-1}}{p-1}$，
∴$\frac{1}{3}≤\frac{{{p^{n+1}}-1}}{{{p^n}-1}}≤3$，此不等式即$\left\{{\begin{array}{l}{3{p^{n+1}}-{p^n}-2≥0}\\{{p^{n+1}}-3{p^n}+2≤0}\end{array}}\right.$，
∵p＞1，∴3pⁿ⁺¹-pⁿ-2=pⁿ（3p-1）-2＞2pⁿ-2＞0，
对于不等式pⁿ⁺¹-3pⁿ+2≤0，令n=1，得p²-3p+2≤0，解得1≤p≤2，
又当1＜p≤2时，p-3＜0，∴pⁿ⁺¹-3pⁿ+2=pⁿ（p-3）+2≤p（p-3）+2=（p-1）（p-2）≤0成立，
所以1＜p≤2；
（3）当$\frac{1}{3}≤p＜1$时，${S_n}={b_1}\frac{{1-{p^n}}}{1-p}$，$\frac{1}{3}{S_n}≤{S_{n+1}}≤3{S_n}$，即$\frac{1}{3}\frac{{1-{p^n}}}{1-p}≤\frac{{1-{p^{n+1}}}}{1-p}≤3\frac{{1-{p^n}}}{1-p}$，
即$\left\{{\begin{array}{l}{3{p^{n+1}}-{p^n}-2≤0}\\{{p^{n+1}}-3{p^n}+2≥0}\end{array}}\right.$，3p-1＞0，p-3＜0，
∵3pⁿ⁺¹-pⁿ-2=qⁿ（3q-1）-2＜2qⁿ-2＜0pⁿ⁺¹-3pⁿ+2=pⁿ（p-3）+2≥p（p-3）+2=（p-1）（p-2）＞0，
∴$\frac{1}{3}≤p＜1$时，不等式恒成立．
综上，q的取值范围为$\frac{1}{3}≤p≤2$．
（Ⅲ）令${c_n}={log_{\frac{3}{2}}}{a_n}$，则c_n是首项为1，公差为$d={log_{\frac{3}{2}}}q$的等差数列，
满足c₁+c₂+…+c_k=1000．显然，当k=1000，d=0时，是一组符合题意的解，∴k_max≥1000，
则由已知得$\frac{1+（k-2）d}{3}≤1+（k-1）d≤3[1+（k-2）d]$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{（2k-1）d≥-2}\\{（2k-5）d≥-2}\end{array}}\right.$，当k≥1000时，不等式即$d≥-\frac{2}{2k-1}，d≥-\frac{2}{2k-5}$，
∴$d≥-\frac{2}{2k-1}$，${a_1}+{a_2}+…+{a_k}=k+\frac{k（k-1）d}{2}=1000$，
∴k≥1000时，$d=\frac{2000-2k}{k（k-1）}≥-\frac{2}{2k-1}$，
解得$1000-\sqrt{999000}≤k≤1000+\sqrt{999000}$，∴k≤1999，
∴k的最大值为1999，此时公差$d=\frac{2000-2k}{k（k-1）}=-\frac{1998}{1999×1998}=-\frac{1}{1999}$，
此时公比$q={（\frac{3}{2}）^{-\frac{1}{1999}}}$．

点评 本题考查是一道关于数列与不等式的综合题，涉及最值问题，考查分类讨论的思想，考查转化思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．