Question

5．已知函数$f（x）=-\frac{x^2}{2}+（{a-1}）x+（{2-a}）lnx+\frac{3}{2}（{a＜3}）$．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）∵$f（x）=-\frac{x^2}{2}+（{a-1}）x+（{2-a}）lnx+\frac{3}{2}（{a＜3}）$，
∴$f（1）=a，f'（x）=-x+a-1+\frac{2-a}{x}$，f'（1）=0，
∴y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=a；
（2）∵$f'（x）=-x+a-1+\frac{2-a}{x}=\frac{{-{x^2}+（{a-1}）x+2-a}}{x}（{x＞0}）$，
∴f'（x）＞0?-x²+（a-1）x+2-a＞0，
f'（x）＜0?-x²+（a-1）x+2-a＜0，
令g（x）=-x²+（a-1）x+2-a=0，解得x₁=1，x₂=a-2，
由已知，a＜3，
①当2＜a＜3时，0＜x₂＜x₁，g（x）＞0的解是a-2＜x＜1，
g（x）＜0的解是0＜x＜a-2或x＞1，
∴f（x）的单调增区间是（a-2，1），单调减区间是（0，a-2），（1，+∞）；
②当a≤2时，x₂≤0，g（x）＞0的解是0＜x＜1，g（x）＜0的解是x＞1，
∴f（x）的单调增区间是（0，1），单调减区间是（1，+∞），
综上所述，当2＜a＜3时，f（x）的单调增区间是（a-2，1），
单调减区间是（0，a-2），（1，+∞）；
当a≤2时，f（x）的单调增区间是（0，1），单调减区间是（1，+∞）．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．