Question

17．连接直角三角形的直角顶点与斜边的两个三等分点，所得线段的长分别为sinα和cosα$（0＜α＜\frac{π}{2}）$，则斜边长是$\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$．

Answer 1

分析 如图建立平面直角坐标系，设A（3a，0），B（0，3b），则三等分点M（a，2b），N（2a，b）                                              
由已知得$\left\{\begin{array}{l}{O{M}^{2}={a}^{2}+4{b}^{2}=si{n}^{2}α}\\{O{N}^{2}=4{a}^{2}+{b}^{2}=co{s}^{2}α}\end{array}\right.$⇒5（a²+b²）=1，则${a}^{2}+{b}^{2}=\frac{1}{5}$，可得AB=$\sqrt{9{a}^{2}+9{b}^{2}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$

解答 解：如图建立平面直角坐标系，设A（3a，0），B（0，3b），
则三等分点M（a，2b），N（2a，b）                                              
由已知得$\left\{\begin{array}{l}{O{M}^{2}={a}^{2}+4{b}^{2}=si{n}^{2}α}\\{O{N}^{2}=4{a}^{2}+{b}^{2}=co{s}^{2}α}\end{array}\right.$⇒
5（a²+b²）=1，则${a}^{2}+{b}^{2}=\frac{1}{5}$
∴AB=$\sqrt{9{a}^{2}+9{b}^{2}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$


故答案为：$\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查了利用坐标处理平面几何问题，转化思想、方程思想是解题的关键，属于中档题．