Question

6．如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，边长为$\sqrt{2}$，每条侧棱的长都是底面边长的$\sqrt{2}$倍，P为侧棱SD上的点．
（1）求证：AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求CP与平面SBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连结BD，交AC于点O，以O为原点建立坐标系，通过计算$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{SD}=0$得出AC⊥SD；
（2）求出$\overrightarrow{CP}$与平面SBC的法向量$\overrightarrow{m}$，计算cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{CP}$＞即可得出CP与平面SBC所成角的正弦值．

解答 （1）证明：连结BD，交AC于点O，由题意知SO⊥平面ABCD，
以O点为坐标原点，以OB，OC，OS分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
∵底面ABCD是边长为$\sqrt{2}$的正方形，侧棱长为2，
∴OB=OC=1，$OS=\sqrt{3}$，
于是$A（0，-1，0），C（0，1，0），S（0，0\sqrt{3}），D（-1，0，0）$
∴$\overrightarrow{AC}=（0，2，0），\overrightarrow{SD}=（-1，0，-\sqrt{3}）$，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{SD}=0×（-1）+2×0+0×（-\sqrt{3}）=0$，
∴AC⊥SD．
（2）解：∵SD⊥平面PAC，PC?平面PAC，
∴SD⊥CP，
设$\overrightarrow{SP}=λ\overrightarrow{SD}=（-λ，0，-\sqrt{3}λ）$，又$S（0，0\sqrt{3}）$，∴$P（-λ，0，\sqrt{3}-\sqrt{3}λ）$，
∴$\overrightarrow{CP}=（-λ，-1，\sqrt{3}-\sqrt{3}λ）$，又$\overrightarrow{SD}=（-1，0，-\sqrt{3}）$，
∴$\overrightarrow{SD}•\overrightarrow{CP}=-λ×（-1）+（-1）×0+（\sqrt{3}-\sqrt{3}λ）×（-\sqrt{3}）=0$，解得$λ=\frac{3}{4}$，
∴$\overrightarrow{CP}=（-\frac{3}{4}，-1，\frac{{\sqrt{3}}}{4}）$，
∵B（1，0，0），∴$\overrightarrow{BS}=（-1，0，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{BC}=（-1，1，0）$，
设平面SBC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{BS}=-x+\sqrt{3}z=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{BC}=-x+y=0\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow m=（\sqrt{3}，\sqrt{3}，1）$，
∴$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow{CP}＞=\frac{{\overrightarrow m•\overrightarrow{CP}}}{{|\overrightarrow m||\overrightarrow{CP}|}}=\frac{{-\frac{{3\sqrt{3}}}{4}-\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{4}}}{{\sqrt{7}•\sqrt{\frac{28}{16}}}}=-\frac{{3\sqrt{3}}}{7}$，
于是CP与平面SBC所成角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{CP}$＞|=$\frac{{3\sqrt{3}}}{7}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，空间向量与线面角的计算，属于中档题．