Question

8．设S_n是数列{a_n}的前n项和，a₁=1，S${\;}_{n}^{2}$=a_n（S_n-$\frac{1}{2}$）（n≥2）．
（1）求{a_n}的通项；
（2）设b_n=$\frac{{S}_{n}}{2n+1}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=S_n-S_n-1代入已知条件可知S_n-S_n-1=2S_nS_n-1，进而两边同时除以S_nS_n-1可知数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是首项为1、公差为2的等差数列，计算可知S_n=$\frac{1}{2n-1}$，从而当n≥2时a_n=-$\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}$，验证a₁=1不满足上式，进而可得通项公式；
（2）通过（1）裂项可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），进而并项相加即得结论．

解答 解：（1）因为当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，
所以${{S}_{n}}^{2}$=（S_n-S_n-1）（a_n-$\frac{1}{2}$），
整理得：S_n-S_n-1=2S_nS_n-1，
两边同时除以S_nS_n-1，得：$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2（n≥2），
又因为$\frac{1}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
所以数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是首项为1、公差为2的等差数列，
所以$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
所以S_n=$\frac{1}{2n-1}$，
所以当n≥2时a_n=$\frac{{{S}_{n}}^{2}}{{S}_{n}-\frac{1}{2}}$=-$\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}$，
又因为a₁=1不满足上式，
所以a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{-\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．
（2）由（1）知b_n=$\frac{{S}_{n}}{2n+1}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
所以T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．