Question

已知函数f（x）=x²，g(x)=

1

2

λf′(x)+sinx在[-1，1]上是减函数．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若g（x）≤λ+3sin1在x∈[-1，1]上恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）求出函数的导数，推出g（x），通过g（x）≤λ+3sin1在x∈[-1，1]上恒成立，转化为λ≥-2sin1，求λ的取值范围；

解答：解：（1）∵f（x）=x²，∴f′（x）=2x，∴f′（1）=2，∴y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0；
（2）由题意得g（x）=λx+sinx，所以g'（x）=λ+cosx，
因g（x）在[-1，1]上单调递减，所以g'（x）≤0在[-1，1]上恒成立，
即λ≤-cosx在[-1，1]上恒成立，得λ≤-1．（3分）
因g（x）在[-1，1]上单调递减，所以[g（x）]max=g（-1）=-λ-sin1，
又g（x）≤λ+3sin1在x∈[-1，1]上恒成立，故只需-λ-sin1≤λ+3sin1恒成立
所以λ≥-2sin1，又sin30°＜sin1，所以1＜2sin1，故-2sin1≤λ≤-1

点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、考查函数导数在解决恒成立问题的应用，注意转化思想的应用，恒成立的应用，是难度较大的题目，常考题型．