Question

如图所示，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，求：
（1）BC′与CD′所成的角；
（2）AD与BC′所成的角．

Answer 1

分析：（1）连结BA'、A'C'，利用正方体的性质得到四边形A'D'CB是平行四边形，得BA'∥CD'，从而∠A'BC'就是BC'与CD'所成的角．正三角形△A'BC'求得∠A'BC'=60°，即得BC'与CD'所成的角的大小；
（2）由AD∥BC，可得∠C'BC就是异面直线AD与BC′所成的角．等腰Rt△BB'C'中，算出∠C'BC=45°，即得AD与BC′所成的角．

解答：解：（1）连结BA'、A'C'，则
∵正方体ABCD-A'B'C'D'中，A'D'∥BC，A'D'=BC．
∴四边形A'D'CB是平行四边形，可得BA'∥CD'，
则∠A'BC'就是BC'与CD'所成的角．
∵△A'BC'为正三角形，可得∠A'BC'=60°．
即BC'与CD'所成的角为60°．…（6分）
（2）由正方体ABCD-A'B'C'D'中，可得AD∥BC，
∴∠C'BC就是异面直线AD与BC′所成的角．
∵Rt△BB'C'中，BB'=B'C'
∴∠C'BC=45°，即AD与BC′所成的角等于45°．…（12分）

点评：本题在正方体中求异面直线所成角的大小．着重考查了正方体的性质、异面直线所成角定义与求法等知识，属于中档题．