Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为1，D为CC₁中点．
（Ⅰ）求证：AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）求点C到平面A₁BD的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）欲证AB₁⊥平面A₁BD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB₁与平面A₁BD内两相交直线垂直，而AB₁⊥A₁B，AB₁⊥BD，A₁B∩BD=B，满足定理所需条件；
（Ⅱ）利用VA1-BCD=VC-A1BD，可求点C到平面A₁BD的距离．

解答： （Ⅰ）证明：取BC中点O，连结AO．
∵△ABC正三角形，∴AO⊥BC．
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，
∴AO⊥平面BCC₁B₁．
连结B₁O，在正方形BCC₁B₁中，O，D分别为BC，CC₁的中点，
∴B₁O⊥BD，∴AB₁⊥BD．
在正方形ABB₁A₁中，AB₁⊥A₁B，∴AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）解：△A₁BD中，BD=A₁D=

5

，A₁B=2

2

，
∴S△A1BD=

6

，S_△BCD=1．
在正三棱柱中，A₁到平面BCC₁B₁的距离为

3

．
设点C到平面A₁BD的距离为d．
由VA1-BCD=VC-A1BD，得d=

3 S△BCD

S△A1BD

=

2

2

，．
∴点C到平面A₁BD的距离为

2

2

．

点评：本题考查线面垂直，考查点面距离，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．