Question

如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x²＝2py(p>0)上．

(1)求抛物线E的方程；
(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q，证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．

Answer 1

（1）x²＝4y   （2）见解析

(1)依题意，|OB|＝8，∠BOy＝30°．
设B(x，y)，则x＝|OB|sin30°＝4，y＝|OB|cos30°＝12．
因为点B(4，12)在x²＝2py上，所以(4)²＝2p×12，解得p＝2．故抛物线E的方程为x²＝4y．
(2)方法一：由(1)知y＝x²，y′＝x．
设P(x₀，y₀)，则x₀≠0，且l的方程为
y－y₀＝x₀(x－x₀)，即y＝x₀x－．
由，得．
所以Q(，－1)．
设M(0，y₁)，令·＝0对满足y₀＝ (x₀≠0)的点(x₀，y₀)恒成立．
由于＝(x₀，y₀－y₁)，＝(，－1－y₁)，
由·＝0，得－y₀－y₀y₁＋y₁＋＝0，
即(＋y₁－2)＋(1－y₁)y₀＝0　(*)．
由于(*)式对满足y₀＝ (x₀≠0)的y₀恒成立，
所以，解得y₁＝1．
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)．