Question

【题目】如图所示的多面体中，平面，，，且，点是的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）．

【解析】

（1）推导出 ，从而平面，，推导出，由此能证明平面，从而平面平面．

（2）以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

(1)证明：∵，点是的中点，∴，

∵平面，平面，

∵，∴平面，

∵平面，

∵中， ，∴，

∵中， ，

∴，

，

∴，

∴，

∵平面，

∵平面，∴平面平面．

(2)解：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，

则， ，， ，

，，，，

设平面的法向量，

则，取，得，

设平面的法向量，

则，取，得，

设二面角的平面角为，

则，

又因为此二面角为锐二面角，

所以二面角的余弦值为．