Question

【题目】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．

(1)证明：BE⊥DC；

(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)见解析(2) (3)

【解析】试题分析：（I）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC的方向向量，根据

，可得BE⊥DC；（II）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）根据BF⊥AC，求出向量的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F-AB-P的余弦值

试题解析：方法一：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图所示），可得B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．C由E为棱PC的中点，得E（1，1，1）．

（1）证明：向量＝（0，1，1），＝（2，0，0），

故＝0，

所以BE⊥DC.

（2）向量＝（－1，2，0），＝（1，0，－2）．

设n＝（x，y，z）为平面PBD的法向量，

则

不妨令y＝1，可得n＝（2，1，1）为平面PBD的一个法向量．于是有

＝＝＝，

所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.

（3） 向量＝（1，2，0），＝（－2，－2，2），＝（2，2，0），＝（1，0，0）．

由点F在棱PC上，设＝λ，0≤λ≤1.

故＝＋＝＋λ＝（1－2λ，2－2λ，2λ）．由BF⊥AC，得＝0，因此2（1－2λ）＋2（2－2λ）＝0，解得λ＝，即＝.设n1＝（x，y，z）为平面FAB的法向量，即不妨令z＝1，可得n1＝（0，－3，1）为平面FAB的一个法向量．取平面ABP的法向量n2＝（0，1，0），则

cos〈n1，n2〉＝＝＝－.

易知二面角F AB P是锐角，所以其余弦值为.

方法二：（1）证明：如图所示，取PD中点M，连接EM，AM.由于E，M分别为PC，PD的中点，故EM∥DC，且EM＝DC.又由已知，可得EM∥AB且EM＝AB，故四边形ABEM为平行四边形，所以BE∥AM.

因为PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD，而CD⊥DA，从而CD⊥平面PAD.因为AM平面PAD，所以CD⊥AM.又BE∥AM，所以BE⊥CD.

（2）连接BM，由（1）有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD.而EM∥CD，故PD⊥EM.又因为AD＝AP，M为PD的中点，所以PD⊥AM，可得PD⊥BE，所以PD⊥平面BEM，故平面BEM⊥平面PBD，所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM.而BE⊥EM，可得∠EBM为锐角，故∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．

依题意，有PD＝2，而M为PD中点，可得AM＝，进而BE＝.故在直角三角形BEM中，tan∠EBM＝＝＝，因此sin∠EBM＝，

所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.

（3）如图所示，在△PAC中，过点F作FH∥PA交AC于点H.因为PA⊥底面ABCD，所以FH⊥底面ABCD，从而FH⊥AC.又BF⊥AC，得AC⊥平面FHB，因此AC⊥BH.在底面ABCD内，可得CH＝3HA，从而CF＝3FP.在平面PDC内，作FG∥DC交PD于点G，于是DG＝3GP.由于DC∥AB，故GF∥AB，所以A，B，F，G四点共面．由AB⊥PA，AB⊥AD，得AB⊥平面PAD，故AB⊥AG，所以∠PAG为二面角F AB P的平面角．

在△PAG中，PA＝2，PG＝PD＝，∠APG＝45°.由余弦定理可得AG＝，cos∠PAG＝，所以二面角F AB P的余弦值为.