Question

设f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R满足f（ab）-af（b）=bf（a），f(3)=3，an=

f(3n)

3n

，bn=

f(3n)

n

，n∈N*．有下列结论：
①f（1）=f（0）=0；
②f（x）为偶函数；
③数列{a_n}为等差数列；
④数列{b_n}为等比数列．其中正确的是（　　）

A．①②③

B．①②④

C．①③④

D．②③④

Answer 1

分析：给a、b赋值，使它们都等于0，再使它们都等于1，得到结论①正确；由f（1）=-f（-1）-f（-1）=0，得f（-1）=0，f（-x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），所以f（x）是R上的奇函数；根据f（ab）-af（b）=bf（a），可得

f(3n)

3n

=

f(3)

3

+

f(3)

3

+…+

f(3)

3

（共n个）=n，从而f（3ⁿ）=n×3ⁿ，由此可得③④正确．

解答：解：①∵取a=b=0，可得f（0）=0，取a=b=1，可得f（1）=0，∴f（0）=f（1）=0，即①正确；
②∵f（1）=-f（-1）-f（-1）=0，∴f（-1）=0，∴f（-x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），∴f（x）是R上的奇函数．故②不正确；
③∵f（ab）-af（b）=bf（a），∴

f(ab)

ab

=

f(a)

a

+

f(b)

b

，∴

f(abc)

abc

=

f(a)

a

+

f(b)

b

+

f(c)

c

，
以此类推

f(3n)

3n

=

f(3)

3

+

f(3)

3

+…+

f(3)

3

（共n个）=n，
∴f（3ⁿ）=n×3ⁿ，∴a_n=

f(3n)

3n

=n，故③正确．
④b_n=

f(3n)

n

=3ⁿ，故④正确．
∴正确的是①③④．
故选C．

点评：本题考查了数列与函数知识的综合运用，解题时应用了函数的赋值法，函数的奇偶性，等差、等比数列的定义等知识，要细心解答．