Question

【题目】已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），f（x+8）=f（x），且当x∈（0，4]时f（x）= ，关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0在[﹣2016，2016]上有且只有2016个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A.（﹣ ln6，ln2]
B.（﹣ln2，﹣ ln6）
C.（﹣ln2，﹣ ln6]
D.（﹣ ln6，ln2）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），f（x+8）=f（x），
∴函数f（x）是偶函数，且周期是8，则在[﹣2016，2016]上共有504个周期，
∵不等式在[﹣2016，2016]上有且只有2016个整数解，∴在一个周期上有且只有4个整数解，
由偶函数的性质可得，在（0，4]上有且只有2个整数解，
∵当x∈（0，4]时f（x）= ，∴则f′（x）= ，
当f′（x）＞0得1﹣ln（2x）＞0，即ln（2x）＜1，
即0＜2x＜e，即0＜x＜ ，
由f′（x）＜0得1﹣ln（2x）＜0，得ln（2x）＞1，
即2x＞e，即x＞ ，
即当x= 时，函数f（x）取得极大值，同时也是最大值
f（ ）= = ，
即当0＜x＜ 时，f（x）＜ 有一个整数解1，
当x＞ 时，0＜f（x）＜ 有无数个整数解，
①若a=0，则f2（x）+af（x）＞0得f2（x）＞0，此时有无数个整数解，不满足条件．
②若a＞0，
则由f2（x）+af（x）＞0得f（x）＞0或f（x）＜﹣a，
当f（x）＞0时，不等式由无数个整数解，不满足条件．
③当a＜0时，由f2（x）+af（x）＞0得f（x）＞﹣a或f（x）＜0，
当f（x）＜0时，没有整数解，
则要使当f（x）＞﹣a有两个整数解，
∵f（1）=ln2，f（2）= =ln2，f（3）= ，
∴当f（x）≥ln2时，函数有两个整数点1，2，当f（x）≥ 时，函数有3个整数点1，2，3
∴要使f（x）＞﹣a有两个整数解，
则 ≤﹣a＜ln2，即﹣ln2＜a≤﹣ ln6，
故选：C．