【题目】已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,焦距长为2,左准线为
:
.
(1)求椭圆的方程及其离心率;
(2)若过点的直线
交椭圆
于
,
两点,且
为线段
的中点,求直线
的方程;
(3)过椭圆右准线
上任一点
引圆
:
的两条切线,切点分别为
,
.试探究直线
是否过定点?若过定点,请求出该定点;否则,请说明理由.
【答案】(1),
(2)
(3)
.
【解析】试题分析:(1)根据条件可得关于a,b,c方程组,解得,
,即得椭圆
的方程及其离心率;(2)利用点差法得中点坐标与弦斜率关系式,解得斜率,根据点斜式得直线
的方程;(3)先根据两圆:以
为直径的圆与圆
方程相减得切点弦
方程,再根据方程恒等得定点
试题解析:(1)设椭圆方程为
,则
,所以
,
又其准线为,所以
,则
,
所以椭圆方程为
,其离心率为
.
(2)设点和点
坐标分别为
,
,因为点
和点
都在椭圆上,
所以两式相减得
,
又点为线段
的中点,所以
,
,
所以直线的斜率为
,
所以直线的方程为
,即
.
(3)直线恒过定点
.
因为椭圆的右准线方程为,所以设
点坐标为
,圆心
坐标为
,
因为直线,
是圆
的两条切线,所以切点
,
在以
为直径的圆上.
所以该圆方程为,
两圆方程相减,得直线的方程
,
即,由
得
所以直线必过定点
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)满足f(﹣x)=f(x),f(x+8)=f(x),且当x∈(0,4]时f(x)= ,关于x的不等式f2(x)+af(x)>0在[﹣2016,2016]上有且只有2016个整数解,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣ ln6,ln2]
B.(﹣ln2,﹣ ln6)
C.(﹣ln2,﹣ ln6]
D.(﹣ ln6,ln2)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,平行四边形ABCD中,AB=2AD,∠DAB=60°,M是BC的中点.将△ADM沿DM折起,使面ADM⊥面MBCD,N是CD的中点,图2所示.
(Ⅰ)求证:CM⊥平面ADM;
(Ⅱ)若P是棱AB上的动点,当 为何值时,二面角P﹣MC﹣B的大小为60°.
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【题目】对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取名学生作为样本,得到这
名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:
(1)求出表中及图中
的值;
(2)若该校高一学生有800人,试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间内的人数.
【答案】(1),
,
;(2)
人.
【解析】试题分析:(1)由题意, 内的频数是10,频率是0.25知,
,所以
,则
,
.(2)高一学生有800人,分组
内的频率是
,人数为
人.
试题解析:
(1)由内的频数是10,频率是0.25知,
,所以
.
因为频数之和为40,所以,
.
.
因为是对应分组
的频率与组距的商,所以
.
(2)因为该校高一学生有800人,分组内的频率是
,
所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为人.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知直线经过抛物线
的焦点
,且与
交于
两点.
(1)设为
上一动点,
到直线
的距离为
,点
,求
的最小值;
(2)求.
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【题目】某公司引进一条价值30万元的产品生产线,经过预测和计算,得到生产成本降低万元与技术改造投入
万元之间满足:①
与
和
的乘积成正比;②当
时,
,并且技术改造投入比率
,
为常数且
.
(1)求的解析式及其定义域;
(2)求的最大值及相应的
值.
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【题目】已知函数,
,
(其中
是自然对数的底数).
(1)若曲线在点
处的切线与直线
垂直,求实数
的值;
(2)记函数,其中
,若函数
在
内存在两个极值点,求实数
的取值范围;
(3)若对任意,
,且
,均有
成立,求实数
的取值范围.
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【题目】对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3,[﹣1.08]=﹣2,定义函数f(x)=x﹣[x],则下列命题中正确的是
①函数f(x)的最大值为1; ②函数f(x)的最小值为0;
③方程有无数个根; ④函数f(x)是增函数.
A. ②③ B. ①②③ C. ② D. ③④
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【题目】设函数f(x)的定义域为(-3,3),
满足f(-x)=-f(x),且对任意x,y,都有f(x)-f(y)=f(x-y),当x<0时,f(x)>0,f(1)=-2.
(1)求f(2)的值;
(2)判断f(x)的单调性,并证明;
(3)若函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x),求不等式g(x)≤0的解集.
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【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=6,点E、F分别在棱BB1、CC1上,且BE= BB1 , C1F=
CC1 .
(1)求平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值;
(2)若G为BC的中点,A1G与平面AEF交于H,且设 =
,求λ的值.
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