Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE= BB1 ， C1F= CC1 ．

（1）求平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值；
（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，且设 = ，求λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE= BB1，C1F= CC1．

∴建立以A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：

则A（0，0，0），A1（0，0，6），B（2，0，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，2，4），

则 =（2，0，2）， =（0，2，4），

设平面AEF的法向量为 =（x，y，z）

则

令z=1．则x=﹣1，y=﹣2，

即 =（﹣1，﹣2，1），

平面ABC的法向量为 =（0，0，1），

则cos＜ ， ＞= = =

即平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值是

（2）解：若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，

则G（1，1，0），

∵ = ，

∴ = =λ（1，1，﹣6）=（λ，λ，﹣6λ），

= + =（λ，λ，6﹣6λ）

∵A，E，F，H四点共面，

∴设 =x +y ，

即（λ，λ，6﹣6λ）=x（2，0，2）+y（0，2，4），

则 ，得λ= ，x=y= ，

故λ的值为 ．

【解析】（1）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．（2）利用四点共面， =x +y ，建立方程关系进行求解即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解棱柱的结构特征(两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形)．