【题目】已知f(x)= ,g(x)=ax3﹣x2﹣x+b(a,b∈R,a≠0),g(x)的图象C在x=﹣
处的切线方程是y=
.
(1)若求a,b的值,并证明:当x∈(﹣∞,2]时,g(x)的图象C上任意一点都在切线y= 上或在其下方;
(2)求证:当x∈(﹣∞,2]时,f(x)≥g(x).
【答案】
(1)解:g'(x)=3ax2﹣2x﹣1,
因为g(x)=ax3﹣x2﹣x+b的图象C在 处的切线方程是
,
所以 ,即
,解得a=1.
因为图象C过点 ,所以
,解得
.
要证明:当x∈(﹣∞,2]时,g(x)的图象C上任意一点都在切线 上或在其下方,
只要证明:当x∈(﹣∞,2]时, .
令 ,
,令
,得
,
验证得 ,
所以x∈(﹣∞,2], 成立,
所以当x∈(﹣∞,2]时,g(x)的图象C上任意一点都在切线 上或在其下方
(2)解:只要证明:x∈(﹣∞,2], .
x∈(﹣∞,2],令 ,
,令
,
当 时,h'(x)<0,当
时,h'(x)>0,所以
,
所以x∈(﹣∞,2], 成立,
又由(1)得,x∈(﹣∞,2], ,
所以x∈(﹣∞,2], ,
所以x∈(﹣∞,2],f(x)≥g(x).
【解析】(1)求出函数的导数,根据 ,求出a的值,图象C过点
,求出b的值,问题转化为证明当x∈(﹣∞,2]时,
,根据函数的单调性证明即可;(2)问题转化为证明x∈(﹣∞,2],
,构造函数g(x),根据函数的单调性证明即可.
【考点精析】认真审题,首先需要了解函数的最大(小)值与导数(求函数在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值).
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【题目】已知函数,
,
(其中
是自然对数的底数).
(1)若曲线在点
处的切线与直线
垂直,求实数
的值;
(2)记函数,其中
,若函数
在
内存在两个极值点,求实数
的取值范围;
(3)若对任意,
,且
,均有
成立,求实数
的取值范围.
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【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=6,点E、F分别在棱BB1、CC1上,且BE= BB1 , C1F=
CC1 .
(1)求平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值;
(2)若G为BC的中点,A1G与平面AEF交于H,且设 =
,求λ的值.
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【题目】平面直角坐标系xoy中,直线l的参数方程是 (t为参数),以射线ox为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是
+ρ2sin2θ=1.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)求直线l与曲线C相交所得的弦AB的长.
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【题目】设数列{an}的前n项和是Sn , 若点An(n, )在函数f(x)=﹣x+c的图象上运动,其中c是与x无关的常数,且a1=3(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=a ,求数列{bn}的前n项和Tn的最小值.
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【题目】某投资人欲将5百万元奖金投入甲、乙两种理财产品,根据银行预测,甲、乙两种理财产品的收益与投入奖金的关系式分别为
,其中
为常数且
.设对乙种产品投入奖金
百万元,其中
.
(1)当时,如何进行投资才能使得总收益
最大;(总收益
)
(2)银行为了吸储,考虑到投资人的收益,无论投资人奖金如何分配,要使得总收益不低于,求
的取值范围.
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