【题目】定义在R上的函数满足
,当
时总有
,若
,则实数
的取值范围是_________.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在正方体中,
分别是棱
的中点,
为棱
上一点,且异面直线
与
所成角的余弦值为
.
(1)证明: 为
的中点;
(2)求平面与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
,不妨令正方体的棱长为2,设
,利用
,解得
,即可证得;
(2)分别求得平面与平面
的法向量
,利用
求解即可.
试题解析:
(1)证明:以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
.
不妨令正方体的棱长为2,
则,
,
,
,
,
设,则
,
,
所以
,
所以,解得
(
舍去),即
为
的中点.
(2)解:由(1)可得,
,
设是平面
的法向量,
则.令
,得
.
易得平面的一个法向量为
,
所以.
所以所求锐二面角的余弦值为.
点睛:空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
【题型】解答题
【结束】
22
【题目】已知椭圆的短轴长为2,且椭圆
过点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线过定点
,且斜率为
,若椭圆
上存在
两点关于直线
对称,
为坐标原点,求
的取值范围及
面积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数,
是定义域为
的奇函数.
(1)确定的值;
(2)若,函数
,
,求
的最小值;
(3)若,是否存在正整数
,使得
对
恒成立?若存在,请求出所有的正整数
;若不存在,请说明理由.
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【题目】某机构在某一学校随机抽取30名学生参加环保知识测试,测试成绩(单位:分)如图所示,假设得分值的中位数为me , 众数为m0 , 平均值为 ,则( )
A.me=m0=
B.me=m0<
C.me<m0<
D.m0<me<
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【题目】在直角坐标系中,已知抛物线
:
,抛物线
的准线与
交于点
.
(1)过作曲线
的切线,设切点为
,
,证明:以
为直径的圆经过点
;
(2)过点作互相垂直的两条直线
、
,
与曲线
交于
、
两点,
与曲线
交于
、
两点,线段
,
的中点分别为
、
,试讨论直线
是否过定点?若过,求出定点的坐标;若不过,请说明理由.
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【题目】设数列{an}的前n项和是Sn , 若点An(n, )在函数f(x)=﹣x+c的图象上运动,其中c是与x无关的常数,且a1=3(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=a ,求数列{bn}的前n项和Tn的最小值.
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【题目】已知f(x)= ,g(x)=ax3﹣x2﹣x+b(a,b∈R,a≠0),g(x)的图象C在x=﹣
处的切线方程是y=
.
(1)若求a,b的值,并证明:当x∈(﹣∞,2]时,g(x)的图象C上任意一点都在切线y= 上或在其下方;
(2)求证:当x∈(﹣∞,2]时,f(x)≥g(x).
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【题目】对于区间,若函数
同时满足:①
在
上是单调函数;②函数
,
的值域是
,则称区间
为函数
的“保值”区间.
(1)求函数的所有“保值”区间.
(2)函数是否存在“保值”区间?若存在,求出
的取值范围;若不存在,说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b),若f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象大致为( )
A. B.
C.
D.
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