Question

【题目】设函数，是定义域为的奇函数．

（1）确定的值；

（2）若，函数，，求的最小值；

（3）若，是否存在正整数，使得对恒成立？若存在，请求出所有的正整数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）；（3）存在，．

【解析】

（1）由题可知，，代入函数解析式即可求出的值；

（2）根据已知条件得，运用换元法令，得函数,结合二次函数的图象与性质即可求出最小值；

（3）由题意，将问题转化为在恒成立，

解：（1）是定义域为R上的奇函数，

，得，，经验证符合题意，

．

（2）由（1）可知，，又

，即

或（舍去），,

，

令，在是增函数，得 ，

则,函数对称轴

可知时，有最小值.

（3）存在

理由如下：，， ，

则对恒成立，

所以，

设

易证在上是减函数，当 时最小值，

即时，的最小值为，

所以，，

∵是正整数，

∴．