Question

【题目】设函数f(x)的定义域为(－3,3)，

满足f(－x)＝－f(x)，且对任意x，y，都有f(x)－f(y)＝f(x－y)，当x<0时，f(x)>0，f(1)＝－2.

(1)求f(2)的值；

(2)判断f(x)的单调性，并证明；

(3)若函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)，求不等式g(x)≤0的解集．

Answer 1

【答案】（1）f(2)＝－4；（2）见解析；（3）(0,2].

【解析】试题分析：（1）通过赋值法，令x＝2，y＝1代入即得；

（2）利用单调性定义证明即可；

（3）由奇函数条件得到f(x－1)≤f(2x－3)，结合单调性和定义即可解得.

试题解析：

(1)在f(x)－f(y)＝f(x－y)中，

令x＝2，y＝1，代入得：f(2)－f(1)＝f(1)，所以f(2)＝2f(1)＝－4.

(2)f(x)在(－3,3)上单调递减．证明如下：

设－3<x1<x2<3，则x1－x2<0，

所以f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2)>0，

即f(x1)>f(x2)，

所以f(x)在(－3,3)上单调递减．

(3)由g(x)≤0得f(x－1)＋f(3－2x)≤0，

所以f(x－1)≤－f(3－2x)．

又f(x)满足f(－x)＝－f(x)，

所以f(x－1)≤f(2x－3)，

又f(x)在(－3,3)上单调递减，

所以解得0<x≤2，

故不等式g(x)≤0的解集是(0,2]．