【题目】如图所示,某村积极开展“美丽乡村生态家园”建设,现拟在边长为1千米的正方形地块ABCD上划出一片三角形地块CMN建设美丽乡村生态公园,给村民休闲健身提供去处.点M,N分别在边AB,AD上. (Ⅰ)当点M,N分别是边AB,AD的中点时,求∠MCN的余弦值;
(Ⅱ)由于村建规划及保护生态环境的需要,要求△AMN的周长为2千米,请探究∠MCN是否为定值,若是,求出此定值,若不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)设∠DCN=∠BCM=θ,当点M,N分别是边AB,AD的中点时,在直角三角形中可得sinθ= ,cosθ=
,然后利用cos∠MCN=cos(
﹣2θ)求解;
(Ⅱ)设∠BCM=α,∠DCN=β,探究α+β是否为定值即可。设AM=x,AN=y,则BM=1﹣x,DN=1﹣y,可得tanα=1﹣x,tanβ=1﹣y,于是得tan(α+β)= ,再由
△AMN的周长为2千米得xy=2(x+y)﹣2,代入后可得tan(α+β)=1.故可得α+β= ,于是可得∠MCN为定值。
试题解析:
(Ⅰ)当点M,N分别是边AB,AD的中点时,设∠DCN=∠BCM=θ,则∠MCN= ﹣2θ,
由条件得CD=BC=1,DN=BM= ,CN=CM=
,
所以sinθ= ,cosθ=
,
所以cos∠MCN=cos( ﹣2θ)=sin2θ=2sinθcosθ=
,
即∠MCN的余弦值是 .
(Ⅱ)设∠BCM=α,∠DCN=β,AM=x,AN=y,则BM=1﹣x,DN=1﹣y,
在△CBM中,tanα=1﹣x,
在△CDN中,tanβ=1﹣y,
所以tan(α+β)= =
=
,(*)
因为△AMN的周长为2千米,
所以x+y+ =2,
化简得xy=2(x+y)﹣2,
将上式代入(*)式,可得
tan(α+β)= =
=
=1,
又,
所以α+β= ,
所以∠MCN是定值,且∠MCN= .
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【题目】设函数f(x)的定义域为(-3,3),
满足f(-x)=-f(x),且对任意x,y,都有f(x)-f(y)=f(x-y),当x<0时,f(x)>0,f(1)=-2.
(1)求f(2)的值;
(2)判断f(x)的单调性,并证明;
(3)若函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x),求不等式g(x)≤0的解集.
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【题目】在四棱锥中,底面
是正方形,侧面
底面
,且
,分别为
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)在线段上是否存在点
,使得二面角
的余弦值为
,若存在,请求出点
的位置;若不存在,请说明理由.
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【题目】为推行“新课堂”教学法,某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式,在甲、乙两个平行班级进行教学实验.为了比较教学效果,期中考试后,分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,结果如下表:记成绩不低于70分者为“成绩优良”.
分数 | |||||
甲班频数 | 5 | 6 | 4 | 4 | 1 |
一般频数 | 1 | 3 | 6 | 5 | 5 |
(1)由以下统计数据填写下面列联表,并判断能否在犯错误的额概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”?
甲班 | 乙班 | 总计 | |
成绩优良 | |||
成绩不优良 | |||
总计 |
附:,其中
.
临界值表
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
(2)现从上述40人中,学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核.在这8人中,记成绩不优良的乙班人数为,求
的分布列及数学期望.
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn,,Sn=n2an-n(n-1),n=1,2,…
(1)证明:数列{Sn}是等差数列,并求Sn;
(2)设,求证 :b1+b2+…+bn<1.
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【题目】某种产品的广告费支出x与销售额y(单位:百万元)之间有如下的对应数据:
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=
x+
;
(参考公式:用最小二乘法求线性回归方程系数公式 ,
.)
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【题目】已知函数f(x)=2x+1,x∈N*.若x0,n∈N*,使f(x0)+f(x0+1)+…+f(x0+n)=63成立,则称(x0,n)为函数f(x)的一个“生成点”.则函数f(x)的“生成点”共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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