【题目】已知函数为
上的偶函数,
为
上的奇函数,且
.
(1)求的解析式;
(2)若函数在
上只有一个零点,求实数
的取值范围.
【答案】(1)详见解析;(2) 或
.
【解析】试题分析:本题根据函数的奇偶性,采用方程组法求函数的解析式,把已知条件里的x替换为-x,利用函数的奇偶性,得出一个新的关系式,两式联立,解出函数f(x)和g(x)的解析式,写出函数h(x),令h(x)=0,转化为方程只有一根,利用换元法转化为二次方程只有一个正根,包括一个正根一个负根及两个相等正根两种情况,分别按要求解出a的范围.
试题解析:
(1)①
.
②
由①②得:
,
由(1)可得:
在
上只有一个零点
只有一个实数根
即只有一个实数根
令
则
只有一个正实数根
①当时,
符合题意
②当时,令
若有一正一负实数根,则
或
,解得
;
若有两个相等的正实数根,则
,解得
或
(舍)
时,
。
综上所述: 得取值范围是
或
.
【点精】关于求函数的解析式问题常用方法有待定系数法、换元法、方程组法等,本题采用的方法为方程组法;当已知函数为哪种基本初等函数时,按照函数的定义形式设出函数,利用待定系数法求出解析式;当提供复合函数形式时,利用换元法求出解析式,但要注意函数的定义域;方程组法题型较少,易于掌握,函数零点问题有时化成函数图象与x轴的交点问题,有时化为方程的根的的问题,有时化为两个函数图象的交点问题,有时还需借助导数研究函数图象去解决.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,某村积极开展“美丽乡村生态家园”建设,现拟在边长为1千米的正方形地块ABCD上划出一片三角形地块CMN建设美丽乡村生态公园,给村民休闲健身提供去处.点M,N分别在边AB,AD上. (Ⅰ)当点M,N分别是边AB,AD的中点时,求∠MCN的余弦值;
(Ⅱ)由于村建规划及保护生态环境的需要,要求△AMN的周长为2千米,请探究∠MCN是否为定值,若是,求出此定值,若不是,请说明理由.
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【题目】已知函数(a>0,a≠1,m≠﹣1),是定义在(﹣1,1)上的奇函数.
(I)求f(0)的值和实数m的值;
(II)当m=1时,判断函数f(x)在(﹣1,1)上的单调性,并给出证明;
(III)若且f(b﹣2)+f(2b﹣2)>0,求实数b的取值范围.
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【题目】在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布
N(-1,1)的部分密度曲线)的点的个数的估计值为
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.954 4.
A. 1 193 B. 1 359 C. 2 718 D. 3 413
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【题目】我们可以用随机模拟的方法估计的值,如图程序框图表示其基本步骤(函数
是产生随机数的函数,它能随机产生
内的任何一个实数).若输出的结果为
,则由此可估计
的近似值为( )
A. 3.119 B. 3.124 C. 3.132 D. 3.151
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【题目】已知奇函数在区间
上是增函数,且最大值为10,最小值为4,则在区间
上
的最大值、最小值分别是( )
A. -4,-10 B. 4,-10
C. 10,4 D. 不确定
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【题目】某学校高三年级有学生1 000名,经调查,其中750名同学经常参加体育锻炼(称为A类同学),另外250名同学不经常参加体育锻炼(称为B类同学),现用分层抽样方法(按A类、B类分两层)从该年级的学生中共抽查100名同学,如果以身高达165 cm作为达标的标准,对抽取的100名学生,得到以下列联表:
身高达标 | 身高不达标 | 总计 | |
经常参加体育锻炼 | 40 | ||
不经常参加体育锻炼 | 15 | ||
总计 | 100 |
(1)完成上表;
(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系(K2的观测值精确到0.001)?
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