Question

【题目】已知函数（a＞0，a≠1，m≠﹣1），是定义在（﹣1，1）上的奇函数．

（I）求f（0）的值和实数m的值；

（II）当m=1时，判断函数f（x）在（﹣1，1）上的单调性，并给出证明；

（III）若且f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）1（2）见解析（3）

【解析】试题分析：（I）由奇函数的定义可得f（﹣x）+f（x）= loga=0，进一步整理得1﹣m2x2=1﹣x2恒成立，比较系数可得m=1或m=﹣1（舍去）；（II）根据函数单调性的定义证明即可；（III）由，得0＜a＜1，根据条件构造不等式f（b﹣2）＞f（2﹣2b），然后利用函数的单调性得到关于b的不等式求解即可。

试题解析：（I）∵f（0）=loga1=0．

∵函数f（x）是奇函数，

∴ f（﹣x）=﹣f（x）

∴f（﹣x）+f（x）=0

∴loga+loga=0；

∴loga=0

∴=1，

整理得1﹣m2x2=1﹣x2对定义域内的x都成立．

∴m2=1．

所以m=1或m=﹣1（舍去）

∴m=1．

（II）由（I）可得f（x）=loga；

令

设﹣1＜x1＜x2＜1，则

∵﹣1＜x1＜x2＜1∴x2﹣x1＞0，（x1+1）（x2+1）＞0

∴t1＞t2．

① 当a＞1时，logat1＞logat2，即f（x1）＞f（x2）．

∴当a＞1时，f（x）在（﹣1，1）上是减函数．

②当0＜a＜1时，logat1＜logat2，即f（x1）＜f（x2）．

∴当0＜a＜1时，f（x）在（﹣1，1）上是增函数．

（III）∵，

∴0＜a＜1，

由f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0，得f（b﹣2）＞﹣f（2b﹣2），

∵函数f（x）是奇函数，

∴f（b﹣2）＞f（2﹣2b），

故由（II）得f（x）在（﹣1，1）上是增函数，

∴

解得

∴实数b的取值范围是。