Question

【题目】如图，在正方体中， 分别是棱的中点， 为棱上一点，且异面直线与所成角的余弦值为.

（1）证明： 为的中点；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨令正方体的棱长为2，设，利用，解得，即可证得；

（2）分别求得平面与平面的法向量，利用求解即可.

试题解析：

（1）证明：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

不妨令正方体的棱长为2，

则， ， ， ， ，

设，则， ，

所以 ，

所以，解得（舍去），即为的中点.

（2）解：由（1）可得， ，

设是平面的法向量，

则.令，得.

易得平面的一个法向量为，

所以.

所以所求锐二面角的余弦值为.

点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.

【题型】解答题
【结束】
22

【题目】已知椭圆的短轴长为2，且椭圆过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线过定点，且斜率为，若椭圆上存在两点关于直线对称， 为坐标原点，求的取值范围及面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）椭圆的短轴长为，得，再由椭圆上一点列方程求解即可；

（2）设直线的方程为，与椭圆联立得，利用韦达定理求得线段的中点为，代入直线可得， ，结合即可求得的取值范围，再求和原点到直线的距离，通过，利用韦达定理代入求最值即可.

试题解析：

（1）∵椭圆的短轴长为2，∴，即.

又点在上，∴，∴.

∴椭圆的方程为.

（2）由题意设直线的方程为，

由，消去得， ，

∴，即，①

且， ，

∴线段中点的横坐标，纵坐标，

即线段的中点为.

将代入直线可得， ，②

由①，②可得， ，∴.

又 ，

且原点到直线的距离，

∴ ，

∵，∴，∴当时， 取得最大值.