【题目】在直角坐标系中,已知抛物线
:
,抛物线
的准线与
交于点
.
(1)过作曲线
的切线,设切点为
,
,证明:以
为直径的圆经过点
;
(2)过点作互相垂直的两条直线
、
,
与曲线
交于
、
两点,
与曲线
交于
、
两点,线段
,
的中点分别为
、
,试讨论直线
是否过定点?若过,求出定点的坐标;若不过,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)过定点;坐标为.
【解析】试题分析:(1)根据题意可将切线设为,联立直线与抛物线的方程结合
可得
的值,根据斜率继而可得
,
的倾斜角分别为
和
,则
,从而命题得证;(2)设出直线方程
,联立直线与抛物线的方程,运用韦达定理可得
,
坐标分别为
,
,写出直线
的方程即可得到最后结果.
试题解析:(1)依题意有;由切线斜率必存在且不等于零,设切线方程为
;
;
,所以切线方程为
和
;
所以直线,
的倾斜角分别为
和
,则
;
所以,点在以
为直径的圆上;
(2)易知直线,
的斜率存在且不为0,设直线
的斜率为
,
,
,
则直线:
,
,
由得
,
,
∴,
,∴
.
同理得.
当或
时,直线
的方程为
;
当且
时,直线
的斜率为
,
∴直线的方程为
,即
,
∴直线过定点,其坐标为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取名学生作为样本,得到这
名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:
(1)求出表中及图中
的值;
(2)若该校高一学生有800人,试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间内的人数.
【答案】(1),
,
;(2)
人.
【解析】试题分析:(1)由题意, 内的频数是10,频率是0.25知,
,所以
,则
,
.(2)高一学生有800人,分组
内的频率是
,人数为
人.
试题解析:
(1)由内的频数是10,频率是0.25知,
,所以
.
因为频数之和为40,所以,
.
.
因为是对应分组
的频率与组距的商,所以
.
(2)因为该校高一学生有800人,分组内的频率是
,
所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为人.
【题型】解答题
【结束】
18
【题目】已知直线经过抛物线
的焦点
,且与
交于
两点.
(1)设为
上一动点,
到直线
的距离为
,点
,求
的最小值;
(2)求.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数f(x)的定义域为(-3,3),
满足f(-x)=-f(x),且对任意x,y,都有f(x)-f(y)=f(x-y),当x<0时,f(x)>0,f(1)=-2.
(1)求f(2)的值;
(2)判断f(x)的单调性,并证明;
(3)若函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x),求不等式g(x)≤0的解集.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列{an}满足a1=1,且anan+1=2n , n∈N* , 则数列{an}的通项公式为( )
A.an=( )n﹣1
B.an=( )n
C.an=
D.an=
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【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=6,点E、F分别在棱BB1、CC1上,且BE= BB1 , C1F=
CC1 .
(1)求平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值;
(2)若G为BC的中点,A1G与平面AEF交于H,且设 =
,求λ的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设数列{an}的前n项和是Sn , 若点An(n, )在函数f(x)=﹣x+c的图象上运动,其中c是与x无关的常数,且a1=3(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=a ,求数列{bn}的前n项和Tn的最小值.
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