Question

【题目】已知二次函数．

（1）当q=1时，求f（x）在[﹣1，9]上的值域；

（2）问：是否存在常数q（0＜q＜10），使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为﹣51？若存在，求出q的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）[﹣60，21]；（2）存在常数q=9，使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为﹣51．

【解析】

（1）将代入函数解析式，得到f（x）=x2﹣16x+4=（x﹣8）2﹣60，结合题中所给的区间，得到函数在哪个点处取得最值，从而求得函数的值域；

（2）假设存在，分情况讨论，函数会在哪个点处取得最小值，求得结果.

（1）q=1时，f（x）=x2﹣16x+4=（x﹣8）2﹣60．

∴f（x）在区间[﹣1，8]上递减，在区间[8，9]上递增，

∴f（x）max=f（﹣1）=21，f（x）min=f（8）=﹣60，

∴f（x）在[﹣1，9]上的值域为[﹣60，21]．

（2）假设存在常数q（0＜q＜10），使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为﹣51，

∵f（x）=x2﹣16x+q+3=（x﹣8）2+q﹣61，x∈[q，10]

∴当0＜q＜8时，f（x）min=f（8）=q﹣61=﹣51，

∴q=10（舍）．

当q≥8时，f（x）在区间[q，10]上单调递增，，

解得q=6（舍）或q=9，

故存在常数q=9，使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为﹣51．