【题目】设为实数,设函数,设
.
(1)求的取值范围,并把表示为的函数;
(2)若恒成立,求实数的取值范围;
(3)若存在使得成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)取值范围是,;(2);
(3) 。
【解析】
分析:(1)根据解析式,得出函数的定义域,将式子两边平方,结合二次函数的值域,可得的范围,进而得到;
(2)由恒成立,即有,注意到直线是抛物线的对称轴,分类讨论,得到函数的单调性,即可求得最小值,进而得到实数的取值范围.
(3)存在使得成立,即,即有且在成立,运用函数的单调性求得右边函数的最值,再由存在性问题的解法即可得到的范围.
详解:(1),
要使有意义,必须且,即,
∴,①
∴的取值范围是
由①得,
∴,;
(2)由恒成立,即有,
注意到直线是抛物线的对称轴,
分以下几种情况讨论:
①当即时,在上为递增函数,
即有时,取得最小值,且为;
②当即时,的最小值为;
③当即时,在上为递减函数,
即有时,取得最小值,且为.
则或或,
解得:或或,
则有;
(3)存在使得成立,即为
,
即有且在成立,
令,
可以得到在递减,在递增,
即有的最小值为,最大值为
即有且
则实数的取值范围是.
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【题目】已知函数f(x)=(x﹣2)ex﹣ +kx(k是常数,e是自然对数的底数,e=2.71828…)在区间(0,2)内存在两个极值点,则实数k的取值范围是 .
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【题目】某企业准备投资 万元兴办一所中学,对当地教育市场进行调查后,得到了如下的数据表格(以班级为单位):
初中 | 26 | 4 |
高中 | 54 | 6 |
第一年因生源和环境等因素,全校总班级至少 个,至多 个,若每开设一个初、高中班,可分别获得年利润 万元、 万元,则第一年利润最大为
A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元
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【题目】已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到:先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图像向右平移个单位长度.
(Ⅰ)求函数的解析式,并求其图像的对称轴方程;
(Ⅱ)已知关于的方程在内有两个不同的解.
(1)求实数m的取值范围;
(2)证明:
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【题目】某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单位:人)
参加书法社团 | 未参加书法社团 | |
参加演讲社团 | 8 | 5 |
未参加书法社团 | 2 | 30 |
(1)从该班随机选 1 名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中,有 5 名男同学,3名女同学.现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人,求被选中且未被选中的概率.
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