Question

8．半径为4，与圆x²+y²-4x-2y-4=0相切，且和直线y=0相切的圆的方程为（x-2-2$\sqrt{10}$）²+（y-4）²=16或（x-2+2$\sqrt{10}$）²+（y-4）²=16或（x-2-2$\sqrt{6}$）²+（y+4）²=16或（x-2+2$\sqrt{6}$）²+（y+4）²=16．

Answer 1

分析 设所求圆的方程为圆C：（x-a）²+（y-b）²=r²，由圆C与直线y=0相切，且半径为4，则圆心C的坐标为C₁（a，4）或C₂（a，-4），又已知两圆相切，求出|CA|=7或|CA|=1，然后分类即可求出求出圆的方程．

解答 解：由题意，设所求圆的方程为圆C：（x-a）²+（y-b）²=r²．
圆C与直线y=0相切，且半径为4，则圆心C的坐标为C₁（a，4）或C₂（a，-4）．
又已知圆x²+y²-4x-2y-4=0即（x-2）²+（y-1）²=9的圆心A的坐标为（2，1），半径为3，
若两圆相切，则|CA|=4+3=7或|CA|=4-3=1．
①当C₁（a，4）时，有（a-2）²+（4-1）²=7²或（a-2）²+（4-1）²=1²（无解），故可得a=2±2$\sqrt{10}$．
∴所求圆方程为（x-2-2$\sqrt{10}$）²+（y-4）²=4²或（x-2+2$\sqrt{10}$）²+（y-4）²=4²．
②当C₂（a，-4）时，（a-2）²+（-4-1）²=7²或（a-2）²+（-4-1）²=1²（无解），故a=2±2$\sqrt{6}$．
∴所求圆的方程为（x-2-2$\sqrt{6}$）²+（y+4）²=4²或（x-2+2$\sqrt{6}$）²+（y+4）²=16．
故答案为：（x-2-2$\sqrt{10}$）²+（y-4）²=16或（x-2+2$\sqrt{10}$）²+（y-4）²=16或（x-2-2$\sqrt{6}$）²+（y+4）²=16或（x-2+2$\sqrt{6}$）²+（y+4）²=16．

点评 本题考查圆的方程，考查待定系数法，考查学生的计算能力，属于中档题．