Question

6．如图，过顶点在原点O，对称轴为y轴的抛物线E上的定点A（2，1）作斜率分别为k₁，k₂的直线，分别交抛物线E于B，C两点．
（1）求抛物线E的标准方程和准线方程；
（2）若k₁+k₂=k₁k₂，且△ABC的面积为8$\sqrt{5}$，求直线BC的方程．

Answer 1

分析 （1）抛物线E的方程为x²=2py，把点A的坐标（2，1）代入x²=2py得p=2，即可求抛物线E的标准方程和准线方程；
（2）设直线BC的方程为y=kx+m，与抛物线方程联立，利用k₁+k₂=k₁k₂，结合韦达定理，利用△ABC的面积为8$\sqrt{5}$，求直线BC的方程．

解答 解：（1）抛物线E的方程为x²=2py，把点A的坐标（2，1）代入x²=2py得p=2，
∴抛物线E的方程为x²=4y，其准线方程为y=-1．
（2）∵B，C两点在抛物线E上，∴直线BC的斜率存在，
设直线BC的方程为y=kx+m，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}=4y\end{array}\right.$⇒x²-4kx-4m=0，∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m，△=16k²+16m＞0，∴k²+m＞0
∵${y_1}=\frac{x_1^2}{4}$，${y_2}=\frac{x_2^2}{4}$，∴${k_1}=\frac{{{y_1}-1}}{{{x_1}-2}}=\frac{{\frac{1}{4}x_1^2-1}}{{{x_1}-2}}=\frac{{{x_1}+2}}{4}$，
同理，${k_2}=\frac{{{x_2}+2}}{4}$．
由k₁+k₂=k₁k₂，得$\frac{{{x_1}+2}}{4}+\frac{{{x_2}+2}}{4}=\frac{{（{x_1}+2）（{x_2}+2）}}{16}$
∴2（x₁+x₂）-x₁x₂+12=0，∴8k+4m+12=0，∴2k+m+3=0，∴m=-2k-3，
由△＞0得k＞3或k＜-1．
又$|BC|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{1+{k^2}}•4\sqrt{{k^2}+m}$，
点A（2，1）到直线BC的距离$d=\frac{|2k-1+m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$．
${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}|BC|d=2\sqrt{{k^2}+m}|2k-1+m|=8\sqrt{5}$，
又m=-2k-3，∴k²-2k-8=0，解得k=4或k=-2，都满足△＞0．
当k=4时，m=-2×4-3=-11，则直线BC的方程为：y=4x-11；
当k=-2时，m=（-2）×（-2）-3=1，则直线BC的方程为：y=-2x+1．

点评 本题主要考查了抛物线的方程与几何性质，考查直线与抛物线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系代入运算，这是处理这类问题的最为常用的方法．