Question

17．如图，点C为圆O上一点，CP为圆的切线，CE为圆的直径，CP=3．
（1）若PE交圆O于点F，EF=$\frac{16}{5}$，求CE的长；
（2）若连接OP并延长交圆O于A，B两点，CD⊥OP于D，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）证明△ECP∽△EFC，利用EF：CE=CE：EP，建立方程，即可求CE的长；
（2）由切割线定理CP²=BP（4+BP），求出BP，利用CD•OP=OC•CP，求出CD．

解答 解：（1）因为CP是圆O的切线，CE是圆O的直径，
所以CP⊥CE，∠CFE=90°，所以△ECP∽△EFC，
设CE=x，$EP=\sqrt{{x^2}+9}$，
又因为△ECP∽△EFC，所以EF：CE=CE：EP，
所以${x^2}=\frac{16}{5}\sqrt{{x^2}+9}$，解得x=4．
（2）由切割线定理CP²=BP（4+BP），
∴BP²+4BP-9=0，
∴$BP=\sqrt{13}-2$，∴$OP=\sqrt{13}$，
所以CD•OP=OC•CP，∴$CD=\frac{OC•CP}{OP}=\frac{2×3}{{\sqrt{13}}}=\frac{{6\sqrt{13}}}{13}$．

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查切割线定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．