Question

1．若x＞0，y＞0，且x+2y=1，那么$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值是3+2$\sqrt{2}$，2x+3y²的取值范围是$（\frac{3}{4}，2）$．

Answer 1

分析 x＞0，y＞0，且x+2y=1，那么$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=（x+2y）$（\frac{1}{x}+\frac{1}{y}）$=3+$\frac{2y}{x}$+$\frac{x}{y}$，再利用基本不等式的性质可得其最小值．由x＞0，y＞0，且x+2y=1，可得x=1-2y＞0，0＜y$＜\frac{1}{2}$.2x+3y²=3y²+2（1-2y）=3$（y-\frac{2}{3}）^{2}$+$\frac{2}{3}$，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：∵x＞0，y＞0，且x+2y=1，那么$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=（x+2y）$（\frac{1}{x}+\frac{1}{y}）$=3+$\frac{2y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥3+2$\sqrt{2}$，当且仅当x=$\sqrt{2}$y=$\sqrt{2}$-1时取等号．其最小值是3+2$\sqrt{2}$．
∵x＞0，y＞0，且x+2y=1，∴x=1-2y＞0，解得0＜y$＜\frac{1}{2}$．
2x+3y²=3y²+2（1-2y）=3$（y-\frac{2}{3}）^{2}$+$\frac{2}{3}$∈$（\frac{3}{4}，2）$．
故答案分别为：3+2$\sqrt{2}$；$（\frac{3}{4}，2）$．

点评 本题考查了基本不等式的性质、二次函数的大小，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．