Question

4．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的渐近线与圆x²+（y+2）²=1没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．

Answer 1

分析 先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离大于半径，求得a和b的关系，进而利用c²=a²+b²求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．

解答 解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x²+（y+2）²=1没有公共点，
∴圆心到渐近线的距离大于半径，即$\frac{2a}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$＞1
∴3a²＞b²，
∴a²＜c²=a²+b²＜4a²，
由e=$\frac{c}{a}$，
∴1＜e＜2
故答案为：（1，2）

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等．考查了学生数形结合的思想的运用，属于中档题．