Question

19．设a₁，d为实数，首项为a₁，公差为d的等差数列{a_n}的前项和为S_n，满足S₅•S₆+15=0．
（1）若S₅=5，求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}的前n项和为T_n，T_n=a_n²，求{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过联立S₅=5与S₆=-3可求出首项和公差，代入公式即得结论；
（2）通过（1）可知T_n=9n²-60n+100，当n≥2时，利用b_n=T_n-T_n-1可得通项公式，进而验证当n=1时是否成立即可．

解答 解：（1）由题意知S₅=5，S₆=-3，所以$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=5}\\{6{a}_{1}+\frac{6×5}{2}d=-3}\end{array}\right.$，…（2分）
所以$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=1}\\{{a}_{1}+\frac{5}{2}d=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，所以$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=7}\\{d=-3}\end{array}\right.$，…（4分）
从而a_n=10-3n；  …（6分）
（2）由（1）可知T_n=a_n²=（10-3n）²=9n²-60n+100，…（8分）
当n=1时，T₁=b₁=9-60+100=49；…（10分）
当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=（9n²-60n+100）-[9（n-1）²-60（n-1）+100]=18n-69，…（12分）
又∵当n=1时不满足上式，
∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{49，n=1}\\{18n-69，n≥2}\end{array}\right.$．…（14分）

点评 本题考查数列的通项，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．